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Beschreibung |
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KursbeschreibungDie Theorie der linearen Operatoren im Hilbertraum hat wichtige Anwendungen in der Analysis - insbesondere bei Differential- und Integralgleichungen - und in der mathematischen Physik. Ziel des Kurses ist sowohl eine Einführung in diese Theorie als auch das Heranführen an das Studium von Spezialliteratur. Es werden Kenntnisse aus der Analysis und der Linearen Algebra vorausgesetzt, der Kurs ist aber für das Hauptstudium gedacht. Zunächst wird auf breiter Basis - über normierte Räume und Banachräume - in die Theorie der Hilberträume eingeführt. Entsprechend wird danach zuerst die Theorie der linearen Operatoren in normierten Räumen und darauf aufbauend in Hilberträumen behandelt. Das wird bis zum Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren, einem der wichtigsten Sätze des Kurses, und einigen seiner Anwendungen geführt.
Inhalt in Stichworten: Hilfsmittel aus der Maß- und Integrationstheorie, normierte Räume, Prähilberträume, Orthogonalität; abgeschlossene, beschränkte, kompakte, symmetrische, selbstadjungierte, normale, isometrische und unitäre Operatoren, orthogonale Projektionen, Hilbert-Schmidt Operatoren; Stabilitätssätze für abgeschlossene und selbstadjungierte Operatoren, Spektraltheorie kompakter Operatoren, Spektralscharen, Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren, Spektrum eines selbstadjungierten Operators, Verfahren zur numerischen Bestimmung von Eigenwerten selbstadjungierter Operatoren, Störung des Spektrums. |
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