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Beschreibung |
KursbeschreibungDie Komplexität in den modernen Biowissenschaften führt zu interdisziplinären Ansätzen, die zunehmend mathematische Modelle mit analytischen, stochastischen und numerischen Aspekten einbeziehen. Die Phänomene in Biologie und Medizin lassen sich in wachsendem Maße angemessen in der 'Sprache der Mathematik' beschreiben. Dies betrifft sowohl die Zunahme quantitativer Betrachtungen als auch die Analyse qualitativer Aspekte vom Standpunkt der Systemtheorie aus.
Im Kurs werden umfangreiche Mechanismen der Modellbildung, beginnend von einfachen Ansätzen (z.B. exponentielles Wachstum) bis zu Elementen moderner Theorien, wie z.B. unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie der Enzymkinetik vorgestellt.
Ein Modell, das zu einem Wachstumsverhalten mit Sättigungsgrenze führt, wird schrittweise erweitert, um zu zeigen, welche mathematischen und biologischen Konsequenzen Modellannahmen bewirken. Damit ergibt sich ein Einstieg in den interdisziplinären Wechselwirkungsprozeß u.a. zwischen Modellierung (vereinfachende Annahmen über die Prozeßdynamik), mathematischer Theorie, biologisch-medizinischer Hypothesenbildung und Versuchs- bzw. Beobachtungsstrategie. Interaktionen verschiedener Populationen können zu einem Hystereseverhalten biologischer Gleichgewichte führen. So kann z.B. ein aus dem Gleichgewicht geratenes Ökosystem möglicherweise nicht durch eine bloße Zurückführung von Systemparametern wieder in den Ausgangszustand gebracht werden.
Die Einbeziehung räumliche Ausbreitung zusätzlich zu zeitlichen Veränderungen kann Stabilität und Instabilität von Gleichgewichten vertauschen. Die Veränderung eines Parameters kann ein System von einem Gleichgewichtspunkt in ein zyklisches Verhalten überführen und umgekehrt. Wenn periodische Vorgänge zum Erliegen kommen (z.B. Herzschlag) oder normalerweise stabile Blutwerte oszillieren (chronisch periodisch myelogene Leukämie), spricht man auch von 'dynamischen Krankheiten'. Periodische Impulse und Impulsverstärkung werden in der Hodgkin-Huxley-Theorie der Nervenmembranen mathematisch beschrieben.
Das Massenwirkungsgesetz und auch die Theorie der Ausbreitung von Infektionskrankheiten liefern Beispiele unterschiedlicher Komplexität. Die Bedeutung von Rückkopplungsprozessen wird am Goodwin-Modell mit den Komponenten Enzym, mRNA und Reaktionsprodukt demonstriert.
Mathematisch ist die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen das Hauptwerkzeug. Es werden Einblicke in die Bifurkationstheorie und die singuläre Störungstheorie vermittelt. Alle Beispiele wurden mit Mathematica berechnet.
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